Matematika itu menyenangkan

Eh besok kalo ga salah adalah hari terakhir kompetisi edeye dot info ya.. Tadi lihat di webnya di ebeye dot info kalau hari terakhir dan pengumuman adalah tanggal 09 Mei 2009 jam 07.00 Wib. Wah ga terasa ya udah sekitar 3 bulanan kompetisi Edhie Baskoro Yuhoyono ini berlangsung.

Coba sekarang di cek di google.co.id dengan kata kunci Edhie Baskoro Yudhoyono Muda Cerdas Jujur Peduli Rakyat, udah ada 14,500 hasil penelusuran untuk edhie baskoro yudhoyono muda cerdas jujur peduli rakyat. Udah banyak juga para blogger yang mengoptimasi kata kunci tersebut biar bisa ke index oleh mbah google ini.

SERP untuk Keyword EDHIE BASKORO YUDHOYONO MUDA CERDAS JUJUR PEDULI RAKYAT sampai malam ini, urutan pertama dan kedua masih ditempati wong bagoes (blogger ponorogo), kemudian tempat ke 3 ada teman saya si Master Mister Ndru (blogger ngawi), posisi ke 4 ada si comunity.kotangawi.com (blogger ngawi juga), posisi ke 5 ada trinil.wordpress.com (blogger ngawi), posisi kelima ada si blogger batam master tehobenk dan posisi ke enam ada wawanwae.blogspot.com (blogger madiun).

Tapi ga tau kalau besok pada saat pengumuman urutannya berubah :-). Selamat saja buat pemenangnya nanti ya ? Jangan lupa traktirannya loh -P

Ada kalanya kita merasakan kejenuhan, baik kejenuhan dalam bekerja, sekolah, juga kejenuhan untuk posting di blog mungkin karena lagi gak mood dan ga ada ide. Bagaimana cara kita untuk menghilangkan kejenuhan-kejenuhan tersebut ya ? Read the rest of this entry »

Ujian Nasional tentunya sekarang mulai bertanya atau berpikir-pikir pingin melanjutkan kemana setelah SMP. Antara SMA atau SMK ? Read the rest of this entry »

Melihat rekan se kantor saya yang lagi seru ikutan kompetisi EDHIE BASKORO YUDHOYONO MUDA CERDAS JUJUR PEDULI RAKYAT, kemarin saya buka websitenya di ebeye dot info. Wah ternyata sudah ramai banget yang ikutan. Blogger-blogger dari mapanmawirogo sudah ikut andil semua, tapi tadi ketika saya cek di google yang diurutan pertama adalah blogger dari batam ya kayaknya. Loh koq bisa sih hehehe… Read the rest of this entry »

Hah…rasananya lama banget ga lihat blogq ini. Gimana mau update, dah ga ada waktu buat update juga si. Dengan jam ngajar yang full kayak gini juga. Tadi pagi coba lihat di google, kompetii edhie baskoro yang di ikutin salah seorang teman di kantor. Wah ternyata udah rame banget yang ikutan. Yang memonetize keyword edhie baskoro yudhoyono muda cerdas jujur peduli rakyat udah banyak, mulai dari blogger yang boleh ikut kompetii sampai yang ga bisa ikut tapi tetap ikutan Read the rest of this entry »

GARIS SELIDIK

Selain cara di atas kita juga dapat mencari jawaban optimal (minimum atau maksimum) dengan menggunakan garis selidik, (garis selidik adalah garis yang diperkirakan berpotongan dengan garis lain yang mendekati nilai optimal). Perhatikan contoh 3 di atas.

Biaya minimum: P(x,y) = 2500x + 2000y, dengan menggambil nilai P tertentu, misal P(x,y)=C, maka akan didapat persamaan garis 2500x + 2000y = C. denagn mengambil beberapa harga C, maka akan diperoleh garis sejajar melalui daerah yang akan ditentukan optimumnya. Perhatikan gambar berikut ini!

Jadi, biaya minimumnya adalah Rp. 87.500,00

Kesimpulan:

1. Program linier adalah suatu cara untuk memecahkan suatu persoalan tertentu dimana model model matematika terdiri atas pertidaksamaan- pertidaksamaan linier yang mempunyai banyak penyelesaian. Dari semua penyelesaian yang mungkin, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimum).

2. Himpunan penyelesaian (HP) adalah irisan dari himpunan penyelesaian, himpunan penyelesaian itu baik sekali di[erlihatkan dengan grafik jika menyangkut dua variabel.

Titik-titik optimum, untuk x,y R selalu terletak di titik-titik sudut atau pada sisi daerah yang mungkin. Bila x,y C, hal itu tidak selalu demikian.

Titik optimum tersebut dapat pula ditentukan dengan menggunakan garis selidik.

GRAFIK HIMPUNAN PENYELESAIAAN

Pengertian Program Linier

Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan tertentu berdasarkan kaidah matematika dengan menyelidiki model matematikanya (dalam bentuk sistem pertidakasamaan linier) yang memiliki banyak kemungkinan penyelesaiaan. Dari sekian banyak penyelesaiaan itu, kita pilih penyelesaian yang optimal. Artinya, yang memenuhi syarat sistem pertidaksamaan linier tadi.

Grafik Himpunan Penyelesaiaan Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

Penyelesaian pertidaksamaan pada diagram cartesius, caranya sebagai berikut:

1. Jika garis itu tidak melalui titik (0,0) maka ambilah titik lain sebagai titik uji, yaitu (0,0)!
2. Jika garis itu melalui titik (0,0) maka ambilah titik lain sebagai titik uji (ambil sembarang selain titik (0,0))!

Contoh 1

1) Langkah-langkah atau cara membuat grafik x - y? 4

• Buatlah grafik fungsi linier: x - y = 4 atau y = x - 4

• Ujilah dengan cara mensubtitusikan (0,0) pada fungsi linier y = x - 4, sehingga didapat: 0 - 0 ? 4 ? 0 ? 4 atau 4 ? 0 (benar)

Jadi, titik (0,0) memenuhi pertidaksamaan linier tadi.

• Arsirlah Himpunan penyelesaiaannya (bidang yang memuat titik (0,0)).

2) Grafik fungsi linier y ? 2x ? 2x - y ? 0

• Buatlah grafik: y = 2x

• Karena grafik fungsi tersebut ternyata melalui titik (0,0), maka ujilah dengan titik sembarang (selain (0,0)), misal kita ambil titik (2,1), kemudian disubstitusikan pada persamaan grafik di atas, sehingga didapat: 4 - 1 ?0 ? 3 ? 0 (ini salah).

Jadi, HP (daerah yang akan diarsir) tidak melalui titik (2,1).

• Arsirlah HP-nya (bidang yang tidak memuat titik (2,1)).

3) Menentukan titik optimum, maksimum dan minimum.

Tentukan Hp dari 2x + 5y ? 10 dan 4x + 3y ? 12.

• Menentukan titik optimum sama halnya dengan mencari irisan dari kedua pertidaksamaan. Caranya, kedua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan dengan dua variabel (sementara).

2x + 5y = 10…(1) |x2| ? 4x + 10y = 20

4x + 3y = 12…(2) |x1| ? 4x + 3y = 12 -

7y = 8

y = 8/7

y = 8/7 substitusikan ke-(1):

2x + 5 ( 8/7) = 10

? 2x = 10 - 40/7 = 30/7

? x = 2 1/7

• Untuk menentukan titik maksimum dan titik minimum, bisa dilihat dari grafik dan persamaan yang ditanyakan.

• Grafiknya :

Dari grafik, jelas terlihat bahwa titik (3,0) dan titik (0,4) adalah titik yang memungkinkan menjadi titik minimum atau maksimum (tergantung pada persamaannya).

MODEL MATEMATIKA

1. Pengertian model matematika

Model matematika adalah bentuk aljabar, dimana dalam pembahasaan ini kita ambil salah satu bentuk aljabar dari sistem pertidaksamaan linier (berderajat satu).

Penyelesaian model matemetika tidak lain adalah membuat himpunan penyelesaian (HP) dari sistem pertidaksamaan linier. Biasa dengan metode grafik pada diagram kartesius, yaitu dengan cara memberi tanda arsir pada himpunan penyelesaian yang dimaksud.

2. Aplikasi model matematika

Untuk mengaplikasikan model matematika ini, ikutilah cara penyelesaiaan program linier berikut ini!

a. Ubahlah soalnya dengan bahasa matematika, shingga bentuk persoalan ini menjadi bentuk sistem pertidaksamaan linier.

b. Tunjukkan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier ini pada diagram cartesius, diman kemungkinan penyelesaiaannya terletak pada titik di dalam atau pada poligon.

c. Ambillah titik yang memberikan penyelesaian yang paling baik dengan cara menyelidiki titik-titik di dalam daerah penyelesaian yang memberikan nilai maksimum.

Contoh 2

Seorang agen akan membeli 25 buah sepeda. Ia ingin membeli sepeda biasa seharga @Rp.30.000,- dan sepeda gunung seharga @ Rp. 40.000,00. jumlah uang yang dimiliki hanya Rp. 840.000,00.

a. Andaikan agen tadi membeli x buah sepeda biasa dan y buah sepeda gunung. Tulis 4 buah pertidakasamaan dalam x dan y!

b. Perlihatkan dengan grafik, himpunan penyelesaian dari sistem pertidasamaan linier tadi! (Ambillah skala x dan y dari 0 sampai 30).

c. Apabila agen mengharapkan laba Rp. 10.000,00 setiap sepeda biasa dan Rp. 12.000,00 setiap sepeda gunung, tulislah jumlah laba dalam x dan y! Tentukan banyaknya masing-masing jenis sepeda yang harus dibeli!

d. Berapa laba maksimumnya!

Penyelesaian:

a. Keempat bentuk pertidaksamaan itu adalah:

(1) x 0

(2) y 0

(3) x + y 25

(4) 30000x + 40000y 840000 3x + 4y 84

b. Grafik

c. Perhatikan pada (b), tentukan perpotongan kedua kurva di atas,

x + y = 25 -4x - 4y = -100

3x + 4y = 84 3x + 4y = 84 +

-x = -16

x = 16

x 16 substitusikan ke (3), sehingga didapat:

16 + y = 25

y = 25 - 16 = 9

d. Jadi, laba maksimumnya adalah Rp. 268.000,00

Contoh 3

Sebuah rumah sakit memerlukan 150 unit kalori dan 130 unit protein untuk setiap pasien perharinya. Apabila setiap kilogram daging sapi mengandung 500 unit kalori dan 200 unit protein, sedangkan setiap kilogram ikan mengandung 300 unit kalori dan 400 unit protein. Harga 1 kg daging sapi Rp. 2.500,00 sedangkan harga 1 Kg ikan segar Rp. 2.000,00. Tentukan biaya minimal kebutuhan 100 orang pasien per hari pada rumah sakit tersebut!

Penyelesaian:

a) Syarat kebutuhan kalori 100 orang pasien :

500x + 300y 15000 5x + 3y 150

Syarat kebutuhan protein 100 orang pasien :

200x + 400y 13000 2x + 4y 130

hingga diperoleh model matematika :

x 0, y 0, 5x + 3y 15, 2x + 4y 130

b) Titik potong garis 2x +4y= 130 dan 5x + 3y = 150 adalah:

2x + 4y = 130 x4 20x + 12 y = 600

5x + 3y = 150 x3 6x + 12y = 390 -

14x = 210 x = 15

3y = 150 - 5x = 150 - 75 = 75 y = 25

c) Grafik

d)

Tabel di atas menunjukkan bahwa biaya minimum sebesar Rp 87.500,00 yaitu bila x =15 dan y = 25.